Menu Zavrieť

Sústava dvoch rovníc o dvoch neznámych

Precvičujeme so študentami veľa rovníc a sústav rovníc o viacerých neznámych, slovných úloh, ktoré vedú k riešeniu rovníc alebo sústav rovníc a popravde som začala mať pocit, že nás už tieto úlohy nemajú čím prekvapiť. Tento týždeň sme ale s jednou študentkou riešili sústavu, ktorá vyzerala zložito, ale po malom zjednodušení sa dala riešiť veľmi peknou úvahou. Tak som sa rozhodla, že tento príklad zaradím do mojej zbierky riešených príkladov 🙂

Zadanie:
Riešte sústavu rovníc v R:

 x^2 - y^2 = 7  \newline
 x^2 +2xy + y^2 = 49  \newline

Pozrime sa na ľavé strany týchto rovníc. Nápadne nám pripomínajú notoricky známe vzorce:

A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\newline
A^2 +2AB + B^2 = (A + B)(A + B)  \newline

Použime tieto vzťahy na sústavu a dostaneme:

(1.) (x - y)(x + y) = 7  \newline
(2.) (x + y)(x + y) = 49  \newline

Sústreďme sa na rovnicu (2.). Vraví nám vlastne, že súčinom čísla (x + y) samého so sebou dostaneme číslo 49. Hľadajme také číslo. Zrejme platí, že:

 7 * 7 = 49  \newline
 (-7) * (-7) = 49  \newline

Teda naše hľadané číslo je (x + y) = 7 alebo (x + y) = (-7). Pokračujme v úvahe pre (x + y) = 7:
Ak (x + y) = 7, čo to hovorí o rovnici (1.)? Znamená to, že potrebujeme nájsť číslo (x - y), pre ktoré bude platiť, že:

 (x - y)(x + y) = 7

Teda:

(x - y) . 7 = 7  \newline

Z čoho priamo vidíme, že číslo (x - y) = 1. Takto pre prípad (x + y) = 7 dostávame krásnu jednoduchú sústavu:

 (x + y) = 7  \newline
 (x - y) = 1  \newline

Po riešení tejto sústavy dostávame:  x = 4 a  y = 3.

Pozrime sa na to, aké riešenie dostaneme pre (x + y) = (-7). V tomto prípade rovnica (1.) bude vyzerať nasledovne:

 (x - y)(x + y) = 7

Teda:

(x - y) . (-7) = 7  \newline

Z čoho vidíme, že (x - y) = (-1). Teda opäť dostávame jednoduchú sústavu:

 (x + y) = -7  \newline
(x - y) = -1  \newline

Jej riešením je  x = -4 a  y = -3.
Dúfam, že aj Vás táto sústava zaujala rovnako ako mňa 🙂

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *