Menu Zavrieť

Archimedov zákon a ponor lode

Minulý týždeň ma jedna moja žiačka príjemne prekvapila veľmi pekným príkladom zo stredoškolskej fyziky. Ide o aplikáciu Archimedovho zákona a príklad je zaujímavý tým, že otázka, na ktorú máme nájsť odpoveď, nie je úplne štandardne formulovaná. Zadanie pôsobí na prvý pohľad hrôzostrašne, ale nakoniec zistíme, že pomocou pár zjednodušení sa dá veľmi pekne vyriešiť 🙂

Zadanie:
Ak naložíme na loď náklad o hmotnosti 750 kg, zväčší sa ponor lode o 12 cm. Určte obsah vodorovného prierezu lode v rovine vodnej hladiny.

Pripomeňme si Archimedov zákon:
Teleso ponorené do kvapaliny je nadľahčované hydrostatickou vztlakovou silou, ktorá sa rovná tiaži kvapaliny vytlačenej telesom.

F_{VZ} = \rho. g. V_{P}

Kde F_{VZ} je vztlaková sila, \rho je hustota kvapaliny, g je tiažové zrýchlenie a V_{P} je objem ponorenej časti telesa, respektíve objem kvapaliny vytlačenej telesom.

Prvé dôležité zjednodušenie, ktoré urobíme je, že si budeme predstavovať loď ako plávajúce teleso tvaru kvádra. To nám veľmi zjednoduší vyjadrenie objemu. Vieme, že objem kvádra vyrátame ako súčin jeho dĺžky, šírky a výšky, teda:
V = d x š x v. Uvedomme si, že súčin šírky a dĺžky je vlastne obsah S vodorovného prierezu lode (kvádrika) a výška, ktorá nás bude zaujímať je vlastne hĺbka h, do ktorej je loď (kvádrik) ponorená (ý). Pre výpočet objemu ponorenej časti lode teda dostávame:

  (1.) V_{P} = S .h

Predstavme si prvú situáciu, pred naložením nákladu. Aké sily pôsobia na loď? Gravitačná a vztlaková sila. Keďže loď pláva (neponára sa ani nestúpa), vieme tiež povedať, že sú tieto sily v rovnováhe. Môžme teda zapísať rovnosť pre veľkosti síl:

  F_{G} = F_{VZ}

Po použití známych vzťahov dostávame:

  (2.) m. g = \rho. g. V_{P}

Dosaďme vzťah (1.) do vzťahu (2.) a dostávame:

  (3.) m. g = \rho. g. S. h

Urobme rovnakú úvahu pre situáciu PO naložení nákladu. Teda po naložení nákladu 750 kg loď klesne o 12 cm (0,12 m) hlbšie a opäť sa ustáli, teda gravitačná a vztlaková sila budú opäť v rovnováhe. Matematický zápis v tejto ustálenej polohe bude vyzerať nasledovne:

F_{G} = F_{VZ}
(m + (750kg)). g = \rho. g. V_{NP}

Kde V_{NP} je NOVÝ, väčší ponorený objem, keďže loďka klesla o 12 cm. Opäť použime zjednodušenie o lodi tvaru kvádra a potom jej nový ponorený objem vieme napísať nasledovne:

  V_{NP} = S. (h + (0,12m))

Vráťme sa teda k rovnosti síl v tejto novej situácii a dosaďme vyjadrený objem ponorenej časti:

(m + (750kg)). g = \rho. g. S. (h + (0,12m))
m. g + (750kg). g = \rho. g. S. h + \rho. g. S. (0,12m)

Pripomeňme si vzťah (3.), ktorý hovorí, že gravitačná sila pôsobiaca na loď pred naložením nákladu bola rovná vztlakovej sile pri ponorení do hĺbky h a dosaďme do poslednej rovnice namiesto m. g:

 \rho. g. S. h + (750kg). g = \rho. g. S. h + \rho. g. S. (0,12m)

Od oboch strán rovnice môžeme odčítať člen \rho. g. S. h a dostaneme:

(750kg). g  = \rho. g. S. (0,12m)

Túto rovnicu vieme veľmi pekne interpretovať. Hovorí totiž, že gravitačná sila pôsobiaca na pridaný náklad je rovnaká ako vztlaková sila, ktorá pôsobí na prírastok ponoreného objemu lode – teda na časť objemu lode prislúchajúci novo-ponoreným 12-tim centimetrom.
Teraz už vieme priamo vyjadriť obsah vodorovného prierezu lode S. Po dosadení hustoty vody a pár ekvivalentných úpravách dostaneme:

S = \frac{(750kg)}{\rho.(0,12m)} \doteq 6,27 m^2

Dúfam, že aj Vás tento príklad zaujal rovnako ako mňa 🙂

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *