Menu Zavrieť

Ako derivovať funkcie typu xx ?

Nájsť deriváciu funkcie je viac menej jednoduchý proces, ktorý väčšine študentov nerobí veľké problémy potom, ako si základné pravidlá precvičia (na rozdiel od integrovania napríklad 🙂 ). Na mojich tohtoročných študentoch som si ale všimla, že jeden typ funkcií robí temer všetkým problémy a intuitívne ho chcú riešiť nesprávne.

Ide o funkcie typu xx – teda také, kde x je v exponente aj v základe funkčného predpisu. Mnoho žiakov si myslí, že môžu postupovať ako pri derivácii zloženej funkcie. Snažia sa aplikovať pravidlo pre derivovanie ax alebo xa a potom derivovať vnútornú funkciu.
Tento postup ale nie je správny a pri podobných pokusoch im stále ostáva „visieť“ jedna z funkcií a v kútiku duše tušia, že niekde robia chybu.

Ako teda postupovať pri derivácii funkcie xx ? Ukážeme si 2 spôsoby ako na to.
1.spôsob:

(0.) y = x^x  \newline

Najskôr použijeme prirodzený logaritmus na obe strany:

 \ln y = \ln x^x  \newline

Použijeme pravidlo, ktoré poznáme z práce s logaritmami:

(1.)\ln x^a = a. \ln x  \newline

Po aplikácii vzťahu (1.) dostávame:

\ln y = x. \ln x  \newline

Obe strany derivujeme podľa x. Nezabudnime, že y je funkciou x a teda ho musíme derivovať ako zloženú funkciu – najskôr zderivujeme vonkajšiu a potom vnútornú zložku. Deriváciou vonkajšej ln y podľa y je 1y a deriváciou vnútornej je y´ (rozumej y derivované podľa x). Na pravú stranu aplikujeme pravidlo pre derivovanie súčinu dvoch funkcií:

{\frac{1}{y}}.y^\prime = x^\prime. ln x + x. (\ln x)^\prime  \newline  \newline  \frac{1}{y}.y^\prime = 1. \ln x + x. \frac{1}{x}  \newline  \newline  \frac{1}{y}.y^\prime = \ln x + 1  \newline

Teraz si uvedomíme, že y = xx (0.), čo použijeme po prenesení y na pravú stranu:

y^\prime = x^x (\ln x + 1)  \newline

2.spôsob:
Pri druhom spôsobe tiež využijeme prirodzený logaritmus. Pripomeňme si že podľa definície logaritmu pre ľubovoľné číslo a platí:

 \ln a = \ln a  \newline
(3.) a = e^{\ln a}  \newline

Aplikujme vzťah (3.) na náš príklad:

 \ln x^{x}= \ln x^{x}  \newline
x^{x}= e^{\ln x^{x}}  \newline

Funkciu budeme derivovať ako zloženú funkciu, kde vonkajšia funkcia bude y = e^{\ln x^{x}} a vnútorná bude  \ln x^{x}. Po aplikovaní vzťahu (1.) z prvého riešenia budeme zložku v exponente derivovať ako súčin dvoch funkcií a teda dostaneme:

y^\prime = e^{\ln x^{x}}.(x^\prime. ln x + x. (\ln x)^\prime)  \newline  \newline  y^\prime = e^{\ln x^{x}}(1. \ln x + x. \frac{1}{x})  \newline  \newline  y^\prime = e^{\ln x^{x}}(\ln x + 1)  \newline

Použijeme opäť vzťah (3.) a dostávame:

  y^\prime =x^x.(\ln x + 1)  \newline

Teraz poznáte 2 spôsoby, ako zderivovať funkciu typu xx. Budete podľa tohto návodu vedieť riešiť aj derivácie zložitejších funkcií podobného typu?
Vyskúšajte sa na nasledovných príkladoch:

a) y = (\sin x)^x  \newline  \newline  b) y = (1+x^2)^{\arctan x}  \newline  \newline  c) y = (\cos x)^{(x^2+1)}  \newline

Pozn.: Tento článok som napísala ako pomoc pre študentov pri riešení určitého typu úloh. Nemá za cieľ hlbšie vysvetlenie teórie. 🙂

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *